- Un sac contient 2 jetons,
et on sait seulement que chacun est soit noir, soit blanc.
Quelle est la couleur des 2 jetons ?
Réponse : L'un est noir, l'autre est blanc.
Démonstration : On sait que si un sac contient 3 jetons, dont 2 sont noirs et le dernier est blanc, la propabilité de tirer du sac un jeton noir est 2/3 ; inversement , pour que la probabilité de choisir un jeton noir ( dans un sac contenant 3 jetons ) soit égale à 2/3, il faut obligatoirement que 2 soient noirs.
Revenons à notre sac de 2 jetons.
"B" représente un jeton blanc
"N" représente un jeton noir
Les probabilités que le sac contienne :(a) NN (b)BN (c)BB
sont respectivement :
1/4 1/2 1/4
Ajoutons un jeton noir dans le sac.
Les probabilités que le sac contienne :
(a) NNN (b) NBN (c)NBB
dont encore :
1/4 1/2 1/4
Si le sac contient (a) NNN , la probabilité de tirer un jeton noir est 1
Si le sac contient (b) NBN, cette probabilité est 2/3
Si le sac contient (c)NBN, probabilité = 1/3
Donc la probabilité de tirer un jeton noir du sacest :
1/4 x 1 + 1/2 x 2/3 + 1/4 x 1/3 = 2/3
Donc le sac contient dorcément 2 jetons noirs et 1 jeton blanc.
Donc, avant que l'on ajoute un jeton noir, le sac contenait 1 jeton noir et 1 jeton blanc
C.Q.F.D
