La semaine dernière pour l'anniversaire de Baudoin nous sommes allés au Titi Twister pour le quizz du mardi. Outre le fait que nous ayons perdu d'un point contre l'autre équipe des Girondins Natation, il y a eu comme à chaque fois une question qui a marqué les esprits! La semaine d'avant c'était les endives qui poussent dans une cave sombre et non pas en terre ou sous une serre. Cette fois il s'agissait de savoir si 1 était un nombre premier ou non, même si la question n'était pas du tout ça! Deux camps se sont formés ceux qui pensaient que oui et ceux qui pensaient que non. Je ne citerai personne et ne donnerai pas mon avis je rétablirai juste la vérité .

 
Qu'appelle-t-on nombre premier?
Les nombres premiers sont en quelque sorte les « atomes » de l'arithmétique : à partir d'eux, on atteint tous les autres nombres. C’est un théorème fondamental de l’arithmétique que tout nombre entier positif peut s’obtenir comme résultat de la multiplication de plusieurs nombres premiers. La définition classique énonce qu’un nombre est premier lorsqu’il n’est divisible que par lui-même et par  1. […] On peut donner une justification un peu grossière de l’existence de la « décomposition en facteurs premiers » en remarquant que, un nombre n étant donné, soit il est premier et alors la décomposition est finie avant même de commencer, soit il ne l’est pas, ce qui permet de le scinder en produit de deux nombres plus petit à partir desquels on se pose à nouveau la question de trouver des diviseurs, et ainsi de suite jusqu’à ce que le processus s’arrête (ce qui se produit forcément à un moment ou un autre), au bout du compte, on obtient bien ce que l’on cherche. Un petit moins intuitif mais tout aussi capital est le fait que, pour un nombre donné, il n’y a qu’une seule décomposition possible en produit de facteurs premiers, du moins à l’ordre près des facteurs, c'est-à-dire que 2x3 et 3x2 sont considérés comme la même décomposition en facteurs premiers du nombre 6.

1 est-il premier ?

Question piège. Selon la définition précédente, il semble bien que oui, puisque 1 n’est effectivement divisible que par lui-même et par 1, deux diviseurs qui, en cette unique occasion, n’en font qu’un seul. Mais puisque la décomposition d’un nombre en produit de facteur premiers est unique, il semble plutôt que non. En effet, si l’on place 1 parmi les nombres premiers, alors il y a une infinité de façon de décomposer un nombre donné en produit de facteurs premiers : pour 6, on a par exemple 6=2x3, mais aussi 6=1x2x3, 6=1x1x2x3, etc. Or, en mathématiques, on ne définit jamais une notion juste pour le plaisir, mais comme outil pour pouvoir l’appliquer, fût-ce à des résultats théoriques : ce sont les théorèmes qui commandent. En l’occurrence, donc, le mieux est de préserver l’unicité de la décomposition, c'est-à-dire de poser que le nombre 1 n’est pas premier, une convention universellement adoptée aujourd’hui.

Extrait de : La Recherche, Hors Série Novembre 2008, Article « les nombre premiers », Benoît Rittaud